Please use this identifier to cite or link to this item: http://cuir.car.chula.ac.th/handle/123456789/29688
Title: Generalized transformation semigroups having proper dense subsemigroups
Other Titles: เซมิกรุปการแปลงนัยทั่วไปซึ่งมีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น
Authors: Amorn Wasanawichit
Advisors: Yupaporn Kemprasit
Sidney S. Mitchell
Other author: Chulalongkorn University. Graduate School
Issue Date: 1994
Publisher: Chulalongkorn University
Abstract: For any sets X, Y, let 𝒯 (X, Y) = the set of all mappings from X into Y, 𝒫𝒯 (X, Y) = the set of all mappings from subsets of X into Y and ℐ (X, Y) = the set of all 1-1 mappings from subsets of X in Y. If 𝒮 (X, Y) is any one of the sets 𝒯 (X, Y), 𝒫𝒯(X, Y) or ℐ (X, Y) and θ ɛ 𝒮 (X, Y) let (𝒮 (X, Y), θ) denote the semigroup (𝒮 (X, Y),*) with α*β = αθβ for all α, β ɛ 𝒮 (X, Y). The following theorem is the main result of this research. Theorem. Let X and Y be sets. Let 𝒮 (X, Y) denote any one of the sets 𝒯 (X, Y), 𝒫𝒯(X, Y) or ℐ (X, Y) and let θ ɛ 𝒮 (X, Y). Then (𝒮 (X, Y),θ) has a proper dense subsemigroup if and only if X and Y and both infinite and |𝛁θ| = min {|X|, |Y|} where 𝛁θ is the range of θ. If X and Y are both infinite and |𝛁θ| = min {|X|, |Y|}, then the following statements hold : (1) Suppose A is an infinite subset of 𝛁θ such that | 𝛁θ-A| = | 𝛁θ |. For each a ɛ A, choose yₐ ɛ aθ̄¹. Then the set U defined by U = {α ɛ 𝒮 (X, Y)| |Aα ⋂ (Y-{yₐ | a ɛ A}) | < |A|} (𝒮 (X, Y),θ). (2) (𝒮 (X, Y),θ) has infinitely many proper dense subsemigroups and the cardinality of the collection of such proper dense subsemigroups in not less than min {|X|, |Y|}.
Other Abstract: สำหรับเซต X, Y ใด ๆ ให้ 𝒯 (X, Y) = เซตของการส่งจาก X ไปยัง Y ทั้งหมด 𝒫𝒯 (X, Y) = เซตของการส่งจากเซตย่อยของ X ไปยัง Y ทั้งหมด ℐ (X, Y) = เซตของการส่งหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตย่อยของ X ไปยัง Y ทั้งหมด ถ้า 𝒮 (X, Y) เป็นเซตใดเซทหนึ่งของเซต 𝒯 (X, Y), 𝒫𝒯(X, Y) หรือ ℐ (X, Y) และ θ ɛ 𝒮 (X, Y) แล้วจะให้ (𝒮 (X, Y), θ) แทนเซมิกรุป (𝒮 (X, Y),*) โดยที่ α*β = αθβ ทุก ๆ α, β ɛ 𝒮 (X, Y) ทฤษฎีบทต่อไปนี้คือผลสำคัญของการวิจัยนี้ ทฤษฎีบท ให้ X และ Y เป็นเซต 𝒮 (X, Y) แทนเซตใดเซตหนึ่งของเซต 𝒯 (X, Y), 𝒫𝒯(X, Y) หรือ ℐ (X, Y) และให้ θ ɛ 𝒮 (X, Y) จะได้ว่า (𝒮 (X, Y),θ) มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น ก็ต่อเมื่อ ทั้ง X และ Y เป็นเซตอนันต์ และ |𝛁θ| = ค่าต่ำสุดของเซต {|X|, |Y|} เมื่อ θ เป็นเรจน์ของ θ ถ้า X และ Y เป็นเซตอนันต์ และ |𝛁θ| = ค่าต่ำสุดของเซต {|X|, |Y|} แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริง (1) สมมติว่า A เป็นเซตย่อยอนันต์ของ 𝛁θ โดยที่ | 𝛁θ-A| = | 𝛁θ | และสำหรับ a ɛ A เลือก yₐ ɛ aθ̄¹ จะได้ว่า เซต U ซึ่งถูกนิยามโดย U = {α ɛ 𝒮 (X, Y)| |Aα ⋂ (Y-{yₐ | a ɛ A}) | < |A|} เป็นเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นของ (𝒮 (X, Y),θ) (2) (𝒮 (X, Y),θ) มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นจำนวนอนันต์ และคาร์ดินาลีตีของกลุ่มของเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นเช่นนั้นไม่น้อยกว่าค่าต่ำสุดของเซต {|X|, |Y|}
Description: Thesis (Ph.D.)--Chulalongkorn University, 1994
Degree Name: Doctor of Philosophy
Degree Level: Doctoral Degree
Degree Discipline: Mathematics
URI: http://cuir.car.chula.ac.th/handle/123456789/29688
ISBN: 9745849464
Type: Thesis
Appears in Collections:Grad - Theses

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
amorn_wa_front.pdf1.87 MBAdobe PDFView/Open
amorn_wa_ch0.pdf899.09 kBAdobe PDFView/Open
amorn_wa_ch1.pdf2.14 MBAdobe PDFView/Open
amorn_wa_ch2.pdf1.94 MBAdobe PDFView/Open
amorn_wa_ch3.pdf6.07 MBAdobe PDFView/Open
amorn_wa_back.pdf716.3 kBAdobe PDFView/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.