การประยุกต์ของแอลทีดีอาร์เอ็มในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของกระบวนการอิโตหนึ่งมิติ

Abstract

กระบวนการอิโตเป็นกระบวนการที่นิยมนำมาใช้เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ในหลายด้าน เพื่อที่จะประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าของกระบวนการอิโตตามวิธี maximum likelihood นั้นจำเป็นต้องทราบค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโต โดยแท้จริงแล้วฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโตเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Fokker-Planck ที่มีเงื่อนไขค่าเริ่มต้นเป็นฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วย (Dirac delta function) ในงานวิจัยนี้ได้ใช้วิธีการเชิงตัวเลข คือเทคนิคแอลทีดีอาร์เอ็มเพื่อประมาณค่าผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Fokker-Planck หนึ่งมิติดังกล่าว จุดเด่นของเทคนิคนี้คือการแปลงฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วยไปยังปริภูมิลาปลาซแล้วใช้เทคนิคดีอาร์เอ็มเพื่อหาผลเฉลยของสมการที่เป็นผลการแปลงลาปลาซโดยไม่มีการประมาณค่าฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วย จากนั้นใช้วิธีการทางตัวเลขในการแปลงลาปลาซผกผัน คือ Stehfest’s algorithm แปลงค่าผลเฉลยที่ได้กลับไปเป็นค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโต จากการทดสอบกับตัวแบบ OU และ CIR โดยการเปรียบเทียบกับค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่แท้จริง ผลการทดสอบแสดงให้เห็นว่า ผลที่ได้จากวิธี LTDRM ให้ค่าประมาณของค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่มีความแม่นยำมากและสามารถใช้ค่าประมาณดังกล่าวไปใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ชื่อว่า maximum likelihood ในกรณีที่ไม่ทราบค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่แท้จริง