การประดิษฐ์และการประเมินเอลิเมนต์เมทริกซ์รูปแบบปิดของเอลิเมนต์สี่เหลี่ยมสี่จุดต่อสำหรับปัญหาความเค้นเนื่องจากความร้อน

Abstract

การประดิษฐ์สมการไฟไนต์เอลิเมนต์สำหรับเอลิเมนต์สี่เหลี่ยมใด ๆ สี่จุดต่อในอดีตนั้นมีความยุ่งยากมากเนื่องจากไม่สามารถหาสมการรูปแบบปิดของการอินทิเกรตได้เหมือนกับในกรณีของเอลิเมนต์สามเหลี่ยมสามจุดต่อ ดังนั้นเทคนิคการอินทิเกรตเชิงตัวเลขจึงถูกนำมาใช้เพื่อหาผลของการอินทิเกรตโดยประมาณ และเทคนิคที่นิยมใช้กันอย่างแพร่หลายมากที่สุดวิธีหนึ่งก็คือวิธีของเกาส์-เลอจองด์ ผลลัพธ์ที่ได้แม้จะเป็นผลเฉลยโดยประมาณแต่ก็สามารถเพิ่มความถูกต้องให้มากขึ้นได้ด้วยการเพิ่มจำนวนจุดเกาส์ในการอินทิเกรต แต่อย่างไรก็ดีการเพิ่มจำนวนจุดเกาส์ทำให้ใช้เวลาในการคำนวณเพิ่มขึ้นอย่างมากด้วยเช่นกัน ในวิทยานิพนธ์นี้จึงนำเสนอวิธีการหาสมการไฟไนต์เอลิเมนต์รูปแบบปิดของเอลิเมนต์สี่เหลี่ยมใด ๆ สี่จุดต่อสำหรับปัญหาความเค้นเนื่องจากความร้อน โดยการใช้โปรแกรมคณิตศาสตร์สัญลักษณ์หรือก็คือโปรแกรมแมทมาทิกา (Mathematica) ร่วมกับการจัดรูปสมการด้วยตนเอง ผลการประดิษฐ์สมการรูปแบบปิดนั้นสามารถจัดรูปออกมาได้สี่กลุ่มตามรูปร่างของเอลิเมนต์ ซึ่งการจัดกลุ่มนี้ทำให้การคำนวณมีประสิทธิภาพเพิ่มมากขึ้น โดยผลลัพธ์ของเอลิเมนต์เมทริกซ์รูปแบบปิดที่ประดิษฐ์ขึ้นมานี้สามารถนำไปใช้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ได้โดยตรง จากนั้นคอมพิวเตอร์โปรแกรมที่ประดิษฐ์ขึ้นถูกนำไปตรวจสอบความถูกต้องและเวลาที่ใช้ในการคำนวณกับปัญหาทดสอบเอลิเมนต์เดี่ยว และปัญหาที่มีและไม่มีผลเฉลยแม่งตรง ตามลำดับ ผลการคำนวณพบว่าวิธีรูปแบบปิดให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูงเทียบได้กับการอินเทรทด้วยวิธีเกาส์-เลอจองด์ที่ใช้จำนวนจุดเกาส์ 8x8 จุด ยิ่งไปกว่านั้นวิธีการที่นำเสนอในวิทยานิพนธ์นี้ยังใช้เวลาในการคำนวณน้อยกว่าวิธีเกาส์-เลอจองด์ด้วย