ระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุมแบบกระชับขอบเขตสำหรับปัญหาการนำความร้อน

Abstract

นำเสนอระเบียบวิธีเชิงตัวเลขแบบไฟไนต์วอลุมบนระบบพิกัดกระชับขอบเขต สำหรับใช้ในการวิเคราะห์ปัญหาการนำความร้อนที่มีรูปร่างลักษณะซับซ้อนในสภาวะอยู่ตัวและสภาวะไม่อยู่ตัว การคำนวณแบ่งเป็นสองขั้นตอนได้แก่การสร้างกริดและระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุม ในส่วนของขั้นตอนสร้างกริดนั้น กริดเริ่มต้นจะถูกสร้างด้วยวิธีเชิงพีชคณิตแล้วปรับกริดให้มีความสม่ำเสมอ ด้วยวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบอิลิปติก ซึ่งมีสมการปัวส์ซองเป็นสมการครอบคลุมของการสร้างกริด จากกริดที่สร้างได้ในขั้นตอนแรกนี้ จะสามารถคำนวณหาสัมประสิทธิ์ของรูปร่าง (geometric coefficient) เพื่อใช้ในการคำนวณในขั้นตอนต่อไป และในส่วนขั้นตอนของระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุมนั้นจะคำนวณบนพื้นที่การคำนวณ (computational space) โดยการแปลงสมการครอบคลุมและเงื่อนไขขอบเขตจากพิกัดคาร์ทีเซียนให้มาอยู่บนพิกัดกระชับขอบเขตโดยใช้กฎลูกโซ่ (chain rule) จากนั้นทำการดิสครีไทซ์สมการครอบคลุมซึ่งอยู่ในรูปสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุม เพื่อแปลงให้อยู่ในรูปสมการเชิงพีชคณิต สุดท้ายแก้ระบบสมการเชิงพีชคณิตด้วยวิธี tri-diagonal matrix algorithm (TDMA) การตรวจสอบความถูกต้องของโปรแกรมคอมพิวเตอร์จะทำโดยการนำผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณ ไปเปรียบเทียบกับปัญหาอย่างง่ายที่มีผลเฉลยแม่นตรง ผลการคำนวณ หรือผลการทดลองที่ได้มีผู้ทำมาแล้ว สำหรับปัญหาที่นำมาเปรียบเทียบสามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วนคือปัญหาการนำความร้อนที่สภาวะอยู่ตัวได้แก่ วงกลมซ้อนกันแบบมีศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมซ้อนกันแบบมีศูนย์กลางเยื้องกัน แผ่นสี่เหลี่ยมมีรูวงกลมตรงกลาง แผ่นสี่เหลี่ยมที่มีเงื่อนไขขอบเป็นฟังก์ชันของซายน์และแผ่นสามเหลี่ยมที่มีการผลิตความร้อน เป็นต้น และปัญหาการนำความร้อนที่สภาวะไม่อยู่ตัวได้แก่ แผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและแผ่นสี่เหลี่ยมคางหมูเจาะรูวงกลม เนื้อหาในวิทยานิพนธ์นี้แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพของระเบียบวิธีไฟไนต์วอลุม บนระบบพิกัดกระชับขอบเขต ที่สามารถใช้ในการวิเคราะห์ปัญหาการนำความร้อนที่มีรูปร่างลักษณะซับซ้อนได้อย่างแม่นยำ