Semingroups admitting the structure of additively commutative seminring with zero

Abstract

เรากล่าวว่าเซมิกรุป S ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ถ้ามีโอเปอเรชัน + บนเซมิกรุป S⁰ที่ทำให้ (S⁰, +, ) เป็นเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวก และมีศูนย์ เมื่อ  เป็นโอเปอเรชันบน S⁰, S⁰ = S ถ้า S มีศูนย์ และในกรณีที่ S ไม่มีศูนย์ ให้ S⁰ คือ S ผนวกกับศูนย์ มีจุดประสงค์หลัก 2 ประการในวิทยานิพนธ์นี้ จุดประสงค์หลักประการแรกคือ บอกลักษณะของเซมิกรุปของการแปลงซึ่งรู้จักกันอย่างแพร่หลายที่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ จุดประสงค์หลักอีกประการหนึ่งคือ ให้ลักษณะของเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณทั้งหมดที่ให้โครงสร้างดังกล่าว เราได้ผลที่สำคัญดังนี้ ทฤษฎีบท 1 ถ้า X เป็นเซตใดๆ และ S เป็นเซมิกรุปของการแปลงแบบหนึ่งแบบใดดังต่อไปนี้ (i) กรุปสมมาตรบน X (ii) เซมิกรุปของการแปลงแบบ 1-1 ของ X ทั้งหมด (iii) เซมิกรุปของการแปลงแบบทั่วถึงของ X ทั้งหมดแล้ว S ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ IXI ≤ 2 ทฤษฎีบท 2 เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนของเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ IXI ≤ 1 ทฤษฎีบท 3 เซมิกรุปของการแปลงเต็มบนเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 4 เซมิกรุปผกผันสมมาตรบนเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 5 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 6 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 7 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนแบบ 1-1 ที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 8 ถ้า S เป็นเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณ แล้ว S ให้โครงสร้างของเซเมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ S เป็นช่วงหนึ่งจากช่วงต่อไปนี้ R , {0} , {1} , (0, ∞) , [0, ∞) (a, ∞) , [a, ∞) โดยที่a ≥1 (0,b) , (0,b] , [0,b) , [0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 ทฤษฎีบท 8 นี้ ได้จากทฤษฎีบทประกอบต่อไปนี้ ทฤษฎีบทประกอบ 1 เชตย่อย S ใดๆ ของ IR เป็นเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR เมื่อและต่อเมื่อ S เป็นช่วงหนึ่งจากช่วงต่อไปนี้ (1) IR (2) {0} (3) {1} (4) (0, ∞) (5) [0, ∞) (6) (a, ∞) โดยที่ a ≥ 1 (7) [a, ∞) โดยที่ a ≥ 1 (8) (0,b) โดยที่ 0 < b ≤ 1 (9) (0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 (10) [0,b) โดยที่ 0 < b ≤ 1 (11) [0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 (12) (a,b) โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (13) (a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (14) [a,b) โดยที่ -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1 (15) [a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 ทฤษฎีบทประกอบ 2 ทุกเซมิกรุปของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบภายใต้การคูณ ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ใต้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 3 เซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งอยู่ในรูปแบบ [a,1] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ 1 ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 4 เซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งอยู่ในรูปแบบ [a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 5 ถ้า S เป็นเซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งมีรูปแบบเป็นแบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้ (a,b) โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 [a,b) โดยที่ -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1 แล้ว S ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์