การประยุกต์ทฤษฎีบทผกผันของแมกซ์เวลล์และเบตตีร่วมกับทฤษฎีฟังก์ชันบริบูรณ์ในปัญหาระนาบยืดหยุ่นเชิงเส้น

Abstract

ในงานวิจัยนี้ได้รวบรวมเอาชุดของฟังก์ชันซึ่งเป็นผลเฉลย (solution) ของสมการควบคุม (governing equation) ของปัญหาระนาบยืดหยุ่นเชิงเส้น (plane linear elastic problem) ซึ่งคาดว่าจะมีความเป็นบริบูรณ์ (complete) เพียงพอที่จะใช้กับปัญหาทั่วๆ ไปในทางวิศวกรรม เนื่องจากผลเฉลยเหล่านี้ให้ความเค้นที่อยู่ในสภาวะสมดุล (stress in equilibrium) และการกระจัดที่สอดคล้อง (compatible displacement) เมื่อนำมารวมกันเชิงเส้นเป็นระบบผลเฉลย (solution system) ก็ยังคงสภาวะสมดุลและการกระจัดที่สอดคล้องอยู่ดี และเมื่อแยกพิจารณาแต่ละพจน์ของระบบผลเฉลยเหล่านี้ว่าเป็นอีกระบบหนึ่งเรียกว่าระบบทดสอบ (trial system) ก็สามารถที่จะใช้ทฤษฎีบทผกผันของแมกซ์เวลล์และเบตตี (Maxwell-Betti's reciprocal theorem) ในการเขียนสมการงานผกผัน (reciprocal work equation) ระหว่างระบบผลเฉลยกับแต่ละระบบทดสอบ ได้เป็นจำนวนสมการเท่ากับจำนวนพจน์ในระบบผลเฉลยพอดี ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebraic equation) จึงสามารถแก้หาค่าสัมประสิทธิ์ของแต่ละพจน์ในระบบผลเฉลยได้ ได้นำเสนอระบบผลเฉลยสำหรับปัญหาระนาบที่มีโดเมนแบบต่างๆ อันได้แก่ โดเมนข้างใน (interior domain) โดเมนข้างนอก (exterior domain) โดเมนวงแหวน (ring domain) ตลอดจนโดเมนวงแหวนหลายวง (multiple-ring domain) และได้หาผลเฉลยของตัวอย่างปัญหาถึงเจ็ดตัวอย่างซึ่งได้ครอบคลุมถึงปัญหาที่มีสภาวะโดเมนทุกรูปแบบข้างต้น อันได้แก่ ปัญหาของแผ่นวงกลมหรือทรงกระบอก แผ่นวงแหวนหรือท่อ แผ่นพื้นอนันต์หรือตัวกลางอนันต์ (infinite plate or full space domain) ที่มีรูเจาะกลมรับแรงกระทำในทิศตั้งฉากหรือทิศเฉือน คานลึก คานลึกที่มีช่องเปิด และแผ่นรับแรงดึงที่มีรูเจาะกลมสองรู ผลเฉลยที่ได้ในแต่ละตัวอย่างได้เปรียบเทียบกับผลเฉลยแม่นตรง (exact soltion) เท่าที่ปรากฏอยู่ หรือเปรียบเทียบกับผลเฉลย จากระเบียบวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ (Finite Element method) พบว่าผลเฉลยที่ได้สอดคล้องกันเป็นอย่างดี ซึ่งในบางปัญหานั้นชุดฟังก์ชันสามารถให้ผลเฉลยแม่นตรงได้เลยทีเดียว ในขณะที่บางปัญหาผลเฉลยที่ได้แม้จะเป็นผลเฉลยเชิงตัวเลขแต่ก็มีการลู่เข้า (converge) ของตัวเลข จึงอาจกล่าวได้ว่าชุดฟังก์ชันที่เสนอขึ้นเป็นชุดฟังก์ชันที่มีความบริบูรณ์เพียงพอที่จะนำไปใช้วิเคราะห์ปัญหาระนาบทางวิศวกรรมทั่วๆ ไปได้